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Matematica applicata: logaritmi e sensazioni

È ormai una (brutta) tradizione quella di pensare che la matematica sia una collezione di teorie astratte. La sufficienza con cui gli studenti liquidano la materia ricorda da vicino la volpe della favola di Fedro: la matematica non servirebbe a niente nella “vita vera”, e poi basta dire che non la si capisce.

In realtà, trovo che la definizione più sensata che sia mai stata data della matematica sia quella di Galileo, che elevando l’aritmetica e l’algebra a dignità scientifica sosteneva che la matematica fosse “il linguaggio che Dio ha usato per scrivere il libro della natura”. Il rapporto, dal punto di vista della didattica, mi sembra bidirezionale: la matematica ci aiuta a capire perché il mondo funziona nel modo in cui funziona, e guardare più a fondo i meccanismi dei fenomeni ci permette di concretizzare e più facilmente comprendere i concetti matematici.

Proprio in quest’ottica di “doppio scambio” tra comprensione sperimentale e teorica, oggi voglio parlare di come la nostra sensibilità sia perlopiù logaritmica. Weber e Fechner hanno compiuto approfondite ricerche su questo aspetto della nostra percezione; io voglio limitarmi a mostrare alcuni esempi immediati.

Innanzitutto, ricordiamo che cos’è il logaritmo. Tutti conosciamo l’operazione di elevamento a potenza: due alla terza è due moltiplicato per se stesso tre volte (cioè otto). In questo caso, “due” è la base e “tre” l’esponente. Se teniamo fissa la base e facciamo variare l’esponente, otteniamo quella che si chiama funzione esponenziale:

y = f(x) = ax.

Il logaritmo non è altro che l’inverso dell’esponenziale. Il logaritmo trova l’esponente data la base e il risultato finale:

logay = x.

Da questo concetto nasce la cosiddetta scala logaritmica. Non preoccupatevi: è più semplice di quanto sembra. Come dicevo prima, invece di spiegare la definizione di scala logaritmica farò degli esempi concreti, tratti dalla fisica, che ci faranno capire meglio di cosa stiamo parlando.

La luce

Quella che noi percepiamo come intensità luminosa di una sorgente non è altro che una parte della potenza dissipata dalla sorgente stessa: ad esempio, il classico filo di tungsteno della lampadina a incandescenza si scalda, quindi emette energia termica e luminosa (cioè radiazioni elettromagnetiche la cui frequenza rientra nel campo del visibile). Dico “una parte” della potenza perché l’energia elettrica (la tensione e la corrente che applichiamo al filamento, per semplificare) viene trasformata un po’ in calore (energia termica), un po’ in luce (energia elettromagnetica), un po’ in altre radiazioni.

Al di là delle considerazioni sul rendimento delle lampadine, avrete notato che mettere una lampadina da 20 W o da 25 W non fa molta differenza. Per “avere più luce” bisogna andare verso quelle da 40 o 60 W, e il passo successivo sarebbe mettere quelle da 100. Praticamente passando da 20 a 40 W possiamo notare lo stesso cambiamento di quando passiamo da 5 a 10, o da 50 a 100.

Questo concetto è ben noto ai fotografi, che per confrontare diverse impostazioni di esposizione (tempo di esposizione, apertura del diaframma, sensibilità) usano il concetto di stop. Aumentare l’esposizione di uno stop significa far entrare il doppio della luce; abbassare di uno stop significa farne entrare la metà. Quindi due stop in più significano quattro volte tanta luce, tre stop in più otto volte, quattro stop in meno un sedicesimo della luce, e così via.

Questo è il motivo per cui sulle macchine fotografiche i tempi di esposizione sono, ad esempio, 1 (secondo), 1/2, 1/4, 1/8, 1/15, 1/30, 1/60, 1/125, 1/250, 1/500, 1/1000, 1/2000, 1/4000… I tempi vanno via via dimezzandosi (all’incirca; in realtà il riferimento è quello del millesimo di secondo, e raddoppiando si perdono via via alcuni decimali), perché ad ogni dimezzamento entra la metà della luce – si scende di uno stop. Lo stesso vale per la sensibilità (100 ISO, 200, 400, 800, 1600…): passare da 100 a 200 rappresenta uno stop in più (foto più luminosa), esattamente come passare da 3200 a 6400.

La scala logaritmica è proprio questo: una scala nella quale muovendosi su o giù di un’unità la grandezza raddoppia o si dimezza, oppure cresce o decresce di un altro fattore costante. Un esempio di scala lineare è 1, 2, 3, 4…; la scala logaritmica invece è 1, 2, 4, 8… oppure 1, 10, 100, 1000…

Well, that escalated quickly!

Ron Burgundy alle prese con la scala logaritmica

Apro una piccola parentesi fotografica per l’apertura del diaframma. Essa è indicata da un numero un po’ particolare, cioè dal rapporto tra lunghezza focale e diametro dell’apertura. Ad esempio, se un obiettivo con lunghezza focale 60 mm avesse un diaframma di 15 mm di diametro, il numero di apertura sarebbe 4; più propriamente, si direbbe f/4, cioè un quarto della focale f. Se vogliamo far entrare il doppio della luce, dobbiamo raddoppiare non il diametro, ma la superficie dell’apertura (all’incirca rotonda): visto che la superficie è proporzionale al quadrato del diametro, il diametro dovrà aumentare non di un fattore 2, ma di un fattore pari alla radice quadrata di 2, cioè circa 1,4142… (ai fini pratici si usa 1,4). Aumentare di uno stop, quindi, significa avere un diametro maggiore, quindi un numero di apertura minore: da f/4 si passerà a f/2,8, e poi a f/2. Infatti, se dimezziamo il numero (raddoppiando quindi il diametro) la superficie diventerà quadrupla, cioè 2 stop in più.

In conclusione, per un fotografo la differenza tra 1/25 di secondo e 1/50 è la stessa che c’è tra 1/1000 e 1/2000. Cambiare il diaframma da 2 a 2,8 darà lo stesso cambiamento che passare da 16 a 22.

I suoni: intensità…

I fotografi e i tecnici del suono non lo sanno, ma passano il loro tempo a parlare delle stesse cose. Solo che lo fanno con nomi diversi. Signore e signori, ecco a voi il decibel (dB).

Il decibel è un’unità di misura, o meglio un modo per indicare un rapporto. Esso è definito come il logaritmo (eccolo qua!) in base dieci del rapporto tra due grandezze comparabili; il tutto moltiplicato dieci (da cui il termine decibel). Esso è un numero puro, ma la sua relazione con la grandezza fisica che viene “confrontata” è logaritmica.

Supponiamo di parlare ancora di potenze. Luce, calore, energia elettrica, energia cinetica, non ha importanza: sono facce diverse della stessa medaglia. L’unità di misura della potenza è il watt (W). Se ho un generatore che esprime una potenza di 10 W e un altro che ne esprime 100, il loro rapporto sarà 100 W / 10 W = 10; inoltre, log1010 = 1. Quindi tra quei due generatori ci sarà una “differenza” di 10 dB.

Metto “differenza” tra virgolette perché in realtà si tratta di un rapporto, non di una differenza. La vera differenza è di 90 W. Ma se prendo un terzo generatore, di 1000 W, il rapporto tra il secondo e il terzo sarà 1000 W / 100 W = 10, quindi di nuovo lo scarto in decibel sarà pari a 10 dB; la differenza tra le potenze però stavolta è pari a 900 W!

Se calcolo il rapporto tra il primo e il terzo generatore, avrò 1000 W / 10 W = 100, quindi in decibel avrò 10log10100 = 10·2 dB = 20 dB. Decuplicando la potenza guadagno 10 decibel; centuplicarla significa decuplicarla due volte, quindi il guadagno complessivo sarà di 20 decibel.

Detta così sembra una banalità, giusto? Eppure questa è una delle proprietà fondamentali del logaritmo: in simboli,

logaxk = k logax.

Ok, scritta così intimorisce un po’, ma il concetto è quello dei decibel e dello stop: se raddoppio, poi raddoppio, e poi raddoppio di nuovo, il logaritmo sarà tre volte il logaritmo di un solo raddoppio. Aumentare di otto volte (due per due per due) significa aumentare di tre stop.

Il concetto di decibel viene usato allo sfinimento dagli ingegneri elettronici, che con esso misurano la dispersione dei campi magnetici, la distribuzione in frequenza dei segnali, la potenza di emissione di un’antenna nelle varie direzioni… in tutti questi casi parliamo di potenze elettromagnetiche.

I tecnici del suono fanno la stessa identica cosa con le potenze delle onde meccaniche. Quando un’onda meccanica viaggia attraverso l’aria ad una frequenza compresa tra circa 20 e circa 20.000 hertz (cioè compie un’oscillazione completa da 20 a 20.000 volte al secondo), essa viene interpretata dal nostro orecchio come un suono. L’intensità sonora che percepiamo non è altro che la potenza di quell’onda.

Di solito, come misura dell’intensità sonora si considera la pressione acustica. Il valore di riferimento è quella che si ritiene essere la soglia minima percepibile dall’orecchio umano, cioè 20 microPascal; tutte le altre intensità sono di solito espresse in decibel rispetto a questo riferimento. Quando diciamo che la conversazione normale ha un volume di 30 decibel o che la soglia del dolore è a circa 120 decibel, ci stiamo riferendo al rapporto con la potenza di riferimento.

Per come è definito il decibel, un rapporto pari a 2 equivale a 3 decibel. Raddoppiare l’intensità vorrà dire 3 decibel in più; dimezzarla 3 decibel in meno. Ecco perché i cursori dei mixer hanno le tacchette che vanno di 3 in 3, anzi, di meno 3 in meno 3: esse indicano il rapporto tra la potenza attuale e la potenza massima, quindi sono decibel negativi.

La nostra percezione dell’intensità sonora è logaritmica: quello che percepiamo è il rapporto, o guadagno, non la differenza in valore assoluto. “Abbassare di 3 decibel” sarà un cambiamento sempre uguale, sia che stiamo passando da piena potenza a mezza potenza sia che stiamo passando da un decimo a un ventesimo.

Se il cursore del volume avesse una scala lineare (indicando quindi non i decibel in meno rispetto al massimo, ma il valore assoluto della potenza) e la musica ci sembrasse troppo bassa, potremmo portarla dal 10% al 20% del massimo. Ma se volessimo ancora alzare il volume “della stessa quantità”, dovremmo andare al 40%, e poi all’80%.

This goes to eleven!

Nigel Tufnel invece preferisce sfondare la scala. Non gli interessa sapere quale.

…e frequenza

Il suono ha un’altra proprietà, ancora più divertente: la frequenza. Anche ad essa si applicano proprietà e percezioni logaritmiche, ma della frequenza e dei rapporti che si instaurano tra le frequenza parlerò un’altra volta. Con più calma. Abbiate paura 🙂

Ordini di grandezza

Per concludere, il discorso sul guadagno e sulla differenza non si applica solo alle potenze, alle frequenze o alle grandezze fisiche: è un concetto radicato nella nostra stessa mente. Provate a pensare a quanto distano i paesi o le cittadine dei vostri dintorni: la città a 30 km di distanza vi sembrerà lontanissima in confronto a quell’altra che è a soli 6 km. Se invece parliamo di due luoghi lontani, che si trovano uno a 1256 km e l’altro a 1280, allora penseremo che siano più o meno nello stesso posto – anche se in realtà la loro distanza relativa è la stessa!

Ancora: risparmiare dieci euro su una spesa di cinquanta ci fa gola, ma non ci sembra un granché se il totale dello scontrino è di 1000 euro. Ci tornerebbero in tasca gli stessi dieci euro, ma in un certo senso ci sembrano “meno importanti” rispetto alla massa di denaro più grande che andiamo a trattare. In economia si dice che il guadagno marginale diminuisce; il guadagno marginale non è altro che il rapporto tra il guadagno assoluto e una grandezza di riferimento.

Potrei andare avanti all’infinito: vedere di aver perso un chilo quando salgo sulla bilancia mi rende felice, ma ritengo trascurabile caricare dieci chili di bagaglio sulla mia macchina che ne pesa 1800; aspettare un caffè per dieci minuti invece che due mi dà sui nervi, ma ricevere un pacco dopo undici giorni invece di dieci non è un grosso problema. Tutto questo ci dimostra come nella maggior parte dei casi misuriamo il mondo con i logaritmi, dando molto più peso ai rapporti che ai valori assoluti.

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