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La corsa “infinita” di Achille e la tartaruga

Zenone di Elea

Platone diceva che Zenone era alto e di bell’aspetto. Sarà.

L’altra sera, da una discussione sulla data della Pasqua è nata un’interessante dissertazione che ha spaziato dalla letteratura alla filosofia alla storia e alla storia della religione e della scienza. Almeno, è stata interessante per me che l’ho raccontata; chi mi ascoltava perlomeno non si è addormentato, e spero non fosse solo perché era piuttosto su di giri per la rimonta dell’Inter. Comunque, sono tornato brevemente ai tempi della terza liceo quando mi sono trovato a parlare di Platone, Aristotele ed Epicuro, e di come a quei tempi tutti i campi del pensiero fossero raccolti sotto l’ombrello della filosofia. Come spesso mi accade, questo mi ha riportato alla mente Zenone di Elea e le sue teorie sul movimento.

Se è vero che un po’ tutta la filosofia precedente al Seicento ha sempre insistito sulla maggiore importanza delle cose spirituali e ideali rispetto a quelle materiali, Zenone fu il pensatore che più di tutti rimarcò la separazione tra i due mondi. Allievo di Parmenide, che sosteneva l’esistenza di un Essere che rappresenta la Verità assoluta e si contrappone all’illusorietà delle cose sensibili, egli si spinse un poco oltre la tesi del suo maestro. Fino a quel momento, il mondo materiale era stato descritto come in continuo mutamento e movimento, e una cosa che muta (si trasforma, si distrugge, diventa altro) non può essere così importante nell’ordine della natura. Beh, per Zenone non era abbastanza: per lui il movimento non esisteva, non era nient’altro che un’illusione dei nostri sensi fallaci e mendaci, puri ostacoli tra noi e l’Essere. E visto che detta così sembrava una fesseria, elaborò alcuni paradossi per dimostrare che il movimento era illusorio.

Piccola parentesi storica: 2300 anni dopo Zenone (che visse intorno alla metà del V secolo avanti Cristo), un altro tizio decise di rivoluzionare la concezione del mondo comunemente accettata, e anche lui si aiutò con dei paradossi. Lui, chiamandosi Albert Einstein ed essendo tedesco, li chiamò gedanken Experimente, cioè esperimenti mentali, perché non potevano essere condotti in pratica ma solo in linea teorica (richiedevano corpi che si muovevano a velocità vicine a quelle della luce, sai com’è). Curiosamente, uno dei paradossi di Zenone mise in discussione la teoria sul movimento relativo di due corpi, e proprio il movimento relativo fu la base da cui si sviluppò la teoria di Einstein.

Piccola parentesi geografica: Zenone non era tecnicamente un filosofo greco. Elea si trova nell’odierna provincia di Salerno, in quella che allora era la Magna Grecia.

Tornando ai paradossi di Zenone, li si trovano discussi ampiamente in mille posti nella rete, quindi non sto a ricordarli tutti. Parlo soltanto del più famoso, quello detto di Achille e la tartaruga.

Il Pelide Achille, l’invulnerabile eroe degli Achei che avrebbe vinto praticamente da solo la guerra di Troia se non l’avessero prima colpito nel suo unico punto debole, era detto “pie’ veloce”, perché, beh, perché correva forte. Inoltre, tutti sappiamo delle prestazioni sul quarto di miglio della tartaruga. Zenone immaginò una gara di velocità tra Achille e una tartaruga, con il Pelide che, spaccone com’è, concede un certo vantaggio alla tartaruga. Comunemente, penseremmo che, nonostante il vantaggio, Achille certamente raggiungerà la tartaruga e la supererà. Zenone invece la vedeva diversamente.

Prima che Achille raggiunga la tartaruga, infatti, dovrà raggiungere il punto in cui la tartaruga si trovava all’inizio della corsa. Ma la tartaruga, per quanto lenta, non starà ferma, e nel frattempo sarà avanzata di una certa lunghezza. Achille allora correrà per raggiungere la nuova posizione della tartaruga, ma la tartaruga si sarà nuovamente spostata, e così via. In sostanza, Achille non potrà mai raggiungere la tartaruga, perché ogni volta dovrà prima raggiungere la sua posizione, ma nel frattempo la tartaruga sarà già più avanti.

La conclusione del paradosso è semplice: se persino il grande Achille non può muoversi fino a raggiungere una tartaruga, evidentemente quello che chiamiamo movimento dev’essere un’illusione.

Achille (Brad Pitt)

Un attore che non ha mai vinto un premio Oscar interpreta un semidio che non riusciva a raggiungere una tartaruga. Andiamo proprio bene.

Tecnicamente, la soluzione del paradosso è banale. O meglio, è banale grazie a Newton e a Leibniz, che più di tre secoli fa ci diedero il calcolo differenziale. Non sto a scendere nei dettagli matematici della dimostrazione, non perché non mi piaccia, anzi: ogni tanto la mia matematica applicata si sgranchirebbe volentieri le gambe, e lo ha anche fatto nei giorni scorsi, ma non ho molta intenzione di mettermi a trascrivere formule matematiche su WordPress (se gli sviluppatori rendessero più semplice l’integrazione di LaTeX sarebbe diverso). Per farla breve, quindi, si dimostra che lo spazio che separa Achille e la tartaruga diventa, come si intuisce, sempre più piccolo, e tende a zero all’infinito (cioè, di fatto, non raggiunge mai lo zero). Tuttavia, anche il tempo che Achille impiega per raggiungere la tartaruga tende a zero all’infinito.

Ciò che spiazzò Zenone – comprensibilmente, visto che gli antichi greci, anzi “magnogreci”, non conoscevano il calcolo differenziale – furono in realtà due mancate considerazioni. La prima è che ciò che deve tendere ad infinito perché la distanza tenda a zero non è il tempo. Se lo fosse, Zenone avrebbe ragione a dire che Achille non raggiungerà mai la tartaruga. In realtà, a tendere ad infinito è il numero di iterazioni del ragionamento: ma ad ogni iterazione non solo la distanza, anche il tempo necessario a coprirla diminuisce sempre più. Se calcoliamo la velocità relativa tra i due concorrenti (cioè la velocità con cui Achille si avvicina alla tartaruga), otterremo una frazione i cui termini tendono entrambi a zero, ma la frazione avrebbe valore costante e pari alla differenza delle velocità.

Insomma, ogni volta l’iterazione diventa più breve e più veloce, e in buona sostanza alla fine (all’infinito) giungeremo al punto in cui la tartaruga rimane dov’è e Achille la raggiunge in tempo zero. Ed è proprio questo il secondo punto su cui Zenone si incaglia: la categoria dell’infinito e dell’infinitesimo. Ripetiamolo: Zenone non aveva gli strumenti matematici per comprenderlo. E in fondo tutta la sua teoria si basava sul fatto che “l’infinito” non esistesse nel mondo sensibile.

È un errore che gli studenti di matematica analitica commettono ancora oggi: l’infinito non è “tanto”, non è “tantissimo”, è “infinito”. Un miliardo di miliardi di zeri dietro ad un uno rappresentano un numero molto grande, ma l’infinito non è “più di quel numero”, è proprio tutta un’altra cosa, è una quantità senza limite, anzi non è neanche una quantità. Lo stesso vale per l’infinitesimo, che non è “piccolissimo”, è infinitamente piccolo. Finché l’iterazione del paradosso di Achille rimane nel finito, Achille dovrà sempre ancora coprire una piccolissima distanza. Il paradosso si supera quando le iterazioni diventano infinite (e possono diventare infinite, perché richiedono tempi sempre più piccoli, tendenti a zero), e il distacco tra i concorrenti diventa infinitesimo.

Insomma, come spesso è capitato nella storia, e come capita ancora oggi, Zenone non aveva strumenti abbastanza evoluti e raffinati per comprendere dove stava il suo errore, e così ha confezionato un ragionamento apparentemente corretto ma in realtà ingannevole (e poi proprio lui la menava su con quanto le cose sensibili sono illusorie – ‘sti filosofi!). Ma il paradosso di Zenone può ancora insegnarci tanto: può farci capire meglio di molti altri esempi che noi, esseri finiti, facciamo tanta fatica a comprendere il concetto di infinito.

Diogene (La Scuola di Atene)

Andate a quel paese, voi e i vostri gedanken Experimente!

Per chiudere, voglio parlare brevemente di un altro grande filosofo greco: Diogene di Sinope, che si faceva chiamare “il cane”, e infatti creò la scuola del Cinismo (cioè letteralmente di chi si comporta come un cane). Diogene, che aveva un carattere piuttosto particolare, abbastanza scorbutico, si trovò una volta a rispondere a chi gli chiedeva che ne pensava dei paradossi contro il movimento di Zenone. Diogene, che non conosceva il calcolo differenziale ma non era neanche il tipo da scrivere i mattoni che scrivo io, rimase in silenzio, chiese l’attenzione dei presenti, e di fronte a loro si mise a camminare, muovendosi da un lato all’altro. Me lo immagino che chiede a muso duro: “Domande?”

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